Équation trigo avec formule de duplication

Énoncé

Résoudre sur [0 ; 2] l'équation : [formule]

Indice : Utilise (2x) = 2^2 x - 1 pour transformer l'équation en un polynôme en x.

Correction

1. Étape 1 : L'équation mêle (2x) et x : deux angles différents, donc rien à factoriser en l'état. Il faut d'abord tout ramener au même angle. Trois formes pour le même angle double : [formule] Les trois sont justes, mais une seule est utile ici, et le choix n'est pas une affaire de goût : l'équation contient déjà un x, donc on veut tout exprimer en cosinus. C'est la forme 2^2 x - 1 qu'il faut prendre. Choisir 1 - 2^2 x ferait apparaître un sinus à côté d'un cosinus, et l'équation deviendrait impossible à factoriser. Regarder ce que contient déjà l'équation avant de choisir sa formule est le geste qui distingue une résolution qui aboutit d'une qui s'enlise.
2. Étape 2 : On remplace (2x) par 2^2 x - 1 : (2x) + x + 1 = 0 (2^2 x - 1) + x + 1 = 0 Les deux constantes s'annulent, ce qui simplifie beaucoup : 2^2 x + x = 0

   2^2 x + x = 0

3. Étape 3 : On pourrait poser X = x et calculer un discriminant, mais c'est inutile : il n'y a pas de terme constant, donc x se met en facteur. x\,(2 x + 1) = 0 Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : x = 0 ou 2 x + 1 = 0

   x\,(2 x + 1) = 0

4. Étape 4 : Cas 1 : x = 0. Le point du cercle est sur l'axe vertical, donc en haut ou en bas : x = {2} ou x = 3{2}

   x = {2} ou x = 3{2}

5. Étape 5 : Cas 2 : 2 x + 1 = 0, c'est-à-dire x = -1{2}. On passe par l'angle supplémentaire de {3} : -1{2} = ( - {3}) = 2{3} D'où, sur [0\,;\,2] : x = 2{3} et x = 2 - 2{3} = 4{3}.

   x = 2{3} ou x = 4{3}

6. Étape 6 : On rassemble les quatre solutions dans l'ordre croissant : S = \{{2}\,;\,2{3}\,;\,4{3}\,;\,3{2}\} Vérifions la première dans l'équation de départ : (2 {2}) + {2} + 1 = + 0 + 1 = -1 + 0 + 1 = 0 ✓ Cette vérification est importante ici : elle porte sur l'équation d'origine, donc elle contrôle aussi que la formule de duplication a été bien appliquée.

   S = \{{2}\,;\,2{3}\,;\,4{3}\,;\,3{2}\}

7. Étape 7 : L'erreur classique : Simplifier 2^2 x + x = 0 en divisant les deux membres par x, ce qui donnerait 2 x + 1 = 0 — et ferait perdre deux solutions, celles où le cosinus s'annule. On ne divise jamais par une expression qui peut valoir zéro : on factorise. À retenir : Deux réflexes. Devant une équation à deux angles, choisis la forme de (2x) qui s'accorde avec le reste : ici un x traînait, donc on prend la version en cosinus. Et quand il n'y a pas de terme constant, factorise plutôt que de calculer un discriminant — c'est plus court, et surtout ça ne perd aucune solution.