Étude de f(x) = 2sin(x) + cos(2x)

Énoncé

Soit f(x) = 2 x + (2x) définie sur [0 ; 2]. a) Calculer f'(x). b) Montrer que f'(x) = 2 x(1 - 2 x). c) Résoudre f'(x) = 0 sur [0 ; 2]. d) Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 2].

Indice : Rappel : ( x)' = x, ( u)' = -u' u. Utilise (2x) = 2 x x pour factoriser.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f'(x) = 2 x - 2(2x) = 2 x - 2 2 x x = 2 x - 4 x x.
2. Étape 2 : **b)** f'(x) = 2 x(1 - 2 x).
3. Étape 3 : **c)** f'(x) = 0 x = 0 ou x = 1{2}. x = 0 x = {2} ou x = 3{2}. x = 1{2} x = {6} ou x = 5{6}.
4. Étape 4 : **d)** Les valeurs critiques ordonnées : {6}, {2}, 5{6}, 3{2}. f(0) = 0+1 = 1, f({6}) = 1 + 1{2} = 3{2}, f({2}) = 2-1 = 1, f(5{6}) = 1+1{2} = 3{2}, f(3{2}) = -2-1 = -3, f(2) = 0+1 = 1. f croît sur [0;{6}], décroît sur [{6};{2}], croît sur [{2};5{6}], décroît sur [5{6};3{2}], croît sur [3{2};2].