Étude de f(x) = 2sin(x) + cos(2x)

Énoncé

Soit f(x) = 2 x + (2x) définie sur [0 ; 2]. a) Calculer f'(x). b) Montrer que f'(x) = 2 x(1 - 2 x). c) Résoudre f'(x) = 0 sur [0 ; 2]. d) Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 2].

Indice : Rappel : ( x)' = x, ( u)' = -u' u. Utilise (2x) = 2 x x pour factoriser.

Correction

1. Étape 1 : Une étude de fonction classique, avec une difficulté propre à ce chapitre : f contient (2x), et le cours ne donne que les dérivées de x et x — pas celle d'un cosinus dont l'angle est doublé. Contourner l'obstacle : réécrire avant de dériver : On n'a pas besoin d'une règle nouvelle. La formule de duplication permet de remplacer (2x) par une expression en x seul, qu'on sait dériver : [formule] Il ne reste alors qu'un carré à dériver, ce que fait la règle du produit. C'est une démarche à retenir bien au-delà de cet exercice : quand une expression résiste, cherche à la réécrire plutôt qu'à forcer. En Terminale, on apprendra à dériver (2x) directement, mais le détour d'aujourd'hui donne exactement le même résultat.
2. Étape 2 : a) On réécrit f à l'aide de la formule de duplication : f(x) = 2 x + (2x) = 2 x + 1 - 2^2 x On dérive terme à terme. Pour le carré, on écrit ^2 x = x x et on applique la règle du produit : ( x x)' = x x + x x = 2 x x D'où, la dérivée de la constante 1 étant nulle : f'(x) = 2 x - 2 2 x x = 2 x - 4 x x

   f'(x) = 2 x - 4 x x

3. Étape 3 : b) Les deux termes ont 2 x en facteur commun : f'(x) = 2 x - 4 x x = 2 x\,(1 - 2 x) Cette forme factorisée est celle qui compte : une somme ne se lit pas en signe, un produit se lit facteur par facteur. C'est tout l'intérêt de la question b), qui prépare la suivante.

   f'(x) = 2 x\,(1 - 2 x)

4. Étape 4 : c) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : f'(x) = 0 x = 0 ou 1 - 2 x = 0 Premier facteur : x = 0 donne x = {2} et x = 3{2}. Second facteur : 1 - 2 x = 0 x = 1{2}, ce qui donne x = {6} et x = 5{6}. Quatre valeurs critiques, qu'on range dans l'ordre croissant : {6} < {2} < 5{6} < 3{2}

   x \{{6}\,;\,{2}\,;\,5{6}\,;\,3{2}\}

5. Étape 5 : d) Ces quatre valeurs découpent [0\,;\,2] en cinq morceaux. Sur chacun, on lit le signe des deux facteurs séparément, puis on multiplie. Rappel : x est positif à droite du cercle (donc avant {2} et après 3{2}), et 1 - 2 x est positif quand x < 1{2}. | intervalle | x | 1-2 x | f'(x) | f | | --- | --- | --- | --- | --- | | 0 à {6} | + | + | + | croît | | {6} à {2} | + | - | - | décroît | | {2} à 5{6} | - | - | + | croît | | 5{6} à 3{2} | - | + | - | décroît | | 3{2} à 2 | + | + | + | croît |
6. Étape 6 : On calcule enfin les valeurs de f aux bornes et aux points critiques, en se rappelant que f(x) = 2 x + (2x) : f(0) = 0 + 0 = 1 f\!({6}) = 2 1{2} + {3} = 1 + 1{2} = 3{2} f\!({2}) = 2 1 + = 2 - 1 = 1 f\!(5{6}) = 2 1{2} + 5{3} = 1 + 1{2} = 3{2} f\!(3{2}) = 2 (-1) + 3 = -2 - 1 = -3 f(2) = 0 + 4 = 1

   f = 3{2} f = -3

7. Étape 7 : Les valeurs confirment le tableau : f monte de 1 à 3{2}, redescend à 1, remonte à 3{2}, plonge à -3, puis remonte à 1. Le maximum vaut 3{2}, atteint deux fois, et le minimum vaut -3. Un contrôle de cohérence : f(0) = f(2) = 1. C'est obligatoire, puisque et sont périodiques de période 2 — si les deux valeurs différaient, il y aurait une erreur quelque part.
8. Étape 8 : L'erreur classique : Dériver (2x) comme s'il s'agissait de x, en écrivant -(2x) — sans le facteur 2 — ou pire, sortir le 2 comme si (2x) valait 2 x. Le cosinus n'est pas une fonction linéaire : (2 0) = 1, alors que 2 0 = 2. Un seul contre-exemple suffit à le voir. À retenir : Quand une expression n'entre pas dans les formules connues, réécris-la avant de dériver. Ici la formule de duplication ramène tout à x, et la règle du produit fait le reste. Et une fois la dérivée obtenue, factorise-la toujours : c'est la forme factorisée, et elle seule, qui permet de lire un signe.