Formules d'addition

Énoncé

En utilisant les formules d'addition, calculer les valeurs exactes suivantes : a) 7{12} b) {12} c) 5{12}

Indice : Décompose les angles : 7{12} = {3} + {4}, {12} = {3} - {4}, 5{12} = {4} + {6}.

Correction

1. Étape 1 : Aucun de ces trois angles n'est remarquable, et aucun ne se ramène à un angle remarquable par symétrie : 7{12}, {12} et 5{12} tombent entre les valeurs de la table. Les formules d'addition servent exactement à cela — fabriquer un angle nouveau à partir de deux angles connus. Formules d'addition : [formule] [formule] [formule] [formule] Le signe est le piège : celui du cosinus est inversé par rapport à l'opération demandée (+ dans l'angle donne - dans la formule), alors que celui du sinus la recopie. Une phrase pour le retenir : « cosinus, cosinus moins sinus, sinus ». La décomposition, elle, se trouve en passant tout sur le dénominateur 12 : {3} = 4{12}, {4} = 3{12}, {6} = 2{12}. Il ne reste qu'à chercher quelle somme ou différence donne le numérateur voulu.
2. Étape 2 : a) On cherche 7 comme somme de deux numérateurs parmi 4, 3 et 2 : 7 = 4 + 3, donc 7{12} = 4{12} + 3{12} = {3} + {4} On applique la formule du cosinus d'une somme, avec le signe moins : 7{12} = {3}{4} - {3}{4}
3. Étape 3 : On remplace par les valeurs remarquables et on calcule : = 1{2} {2}{2} - {3}{2} {2}{2} = {2}{4} - {6}{4} = {2 - 6}{4} Contrôle de signe : 7{12} vaut environ 1{,}83, donc dépasse {2} 1{,}57 — l'angle est dans le deuxième quadrant et son cosinus doit être négatif. Or 2 1{,}41 est bien plus petit que 6 2{,}45 : le résultat est négatif. ✓

   7{12} = {2 - 6}{4}

4. Étape 4 : b) Cette fois 1 = 4 - 3, donc c'est une différence : {12} = 4{12} - 3{12} = {3} - {4} Pour le sinus d'une différence, le signe est moins, comme dans l'angle : {12} = {3}{4} - {3}{4} = {3}{2} {2}{2} - 1{2} {2}{2} = {6 - 2}{4} Contrôle : {12} est un petit angle positif, son sinus doit être petit et positif. Le résultat vaut environ 0{,}26. ✓

   {12} = {6 - 2}{4}

5. Étape 5 : c) Ici 5 = 3 + 2 : 5{12} = 3{12} + 2{12} = {4} + {6} 5{12} = {4}{6} - {4}{6} = {2}{2} {3}{2} - {2}{2} 1{2} = {6 - 2}{4}

   5{12} = {6 - 2}{4}

6. Étape 6 : On remarque que les réponses de b) et c) sont identiques. Ce n'est pas une coïncidence : les deux angles sont complémentaires, puisque {12} + 5{12} = 6{12} = {2} Or le sinus d'un angle égale toujours le cosinus de son complémentaire. Cette égalité est donc un contrôle gratuit : si les deux calculs, menés indépendamment, n'avaient pas donné le même résultat, l'un des deux serait faux.
7. Étape 7 : L'erreur classique : Inverser le signe dans la formule du cosinus, et écrire (a+b) = a b + a b. On obtiendrait {2 + 6}{4} 0{,}97 pour la question a) — un résultat positif, alors que l'angle est dans le deuxième quadrant où le cosinus ne peut pas l'être. À retenir : Le cosinus change le signe, le sinus le garde. Et surtout, contrôle toujours le signe de ta réponse par le quadrant : c'est ce qui a démasqué l'erreur ci-dessus sans avoir à relire la formule. Un second contrôle gratuit quand deux questions portent sur des angles complémentaires : leurs résultats doivent coïncider.