Résoudre sin(x) = sin(a)

Énoncé

Résoudre sur [- ; ] les équations suivantes : a) x = {5} b) x = -{3}{2}

Indice : Pour x = a : x = a + 2k ou x = - a + 2k.

Correction

1. Étape 1 : Deux équations en sinus : la règle à employer n'est donc pas celle du cosinus. La règle du sinus : [formule] Deux points du cercle ont le même sinus lorsqu'ils sont symétriques par rapport à l'axe vertical — d'où le - a. La question a) présente un cas instructif : l'angle {5} n'est pas remarquable, on ne connaît pas son sinus. Ce n'est pas un obstacle — la règle s'applique sans avoir besoin de la valeur, puisque l'équation est déjà écrite sous la forme x = a.
2. Étape 2 : a) L'équation est déjà de la forme voulue avec a = {5} : x = {5} + 2k ou x = - {5} + 2k On calcule la seconde : - {5} = 5 - {5} = 4{5}.
3. Étape 3 : Filtrage sur [-\,;\,]. Avec {5} 0{,}63 et 4{5} 2{,}51, les deux valeurs obtenues pour k = 0 sont bien dans l'intervalle, dont la borne vaut 3{,}14. S = \{{5}\,;\,4{5}\}

   S = \{{5}\,;\,4{5}\}

4. Étape 4 : b) On cherche l'angle de référence. Le sinus étant impair, une valeur négative s'obtient en prenant l'opposé de l'angle : -{3}{2} = -{3} = (-{3}) On applique la règle avec a = -{3} : x = -{3} + 2k ou x = - (-{3}) + 2k = 4{3} + 2k
5. Étape 5 : Filtrage sur [-\,;\,] : - première famille, k = 0 : x = -{3} -1{,}05 ✓ - seconde famille, k = 0 : 4{3} 4{,}19, au-delà de . On lui retire un tour (k = -1) : 4{3} - 2 = -2{3} -2{,}09 ✓ S = \{-2{3}\,;\,-{3}\} Contrôle : les deux solutions sont négatives, donc dans la moitié basse du cercle — cohérent avec un sinus négatif. ✓

   S = \{-2{3}\,;\,-{3}\}

6. Étape 6 : L'erreur classique : Écarter 4{3} sous prétexte qu'elle sort de l'intervalle, et ne rendre qu'une seule solution. Une famille a + 2k contient une infinité d'angles : avant de la déclarer sans représentant dans l'intervalle, il faut essayer k = -1 et k = 1. À retenir : Retirer ou ajouter 2 ne change pas le point du cercle — seulement la façon de le nommer. Sur [-\,;\,], réflexe : toute solution supérieure à se ramène en lui retirant 2, toute solution inférieure à - en lui ajoutant 2.