Résoudre cos(x) = valeur

Énoncé

Résoudre sur [0 ; 2] les équations suivantes : a) x = {2}{2} b) x = -1{2}

Indice : Pour x = a, on cherche tel que = |a| parmi les angles remarquables, puis on applique x = + 2k.

Correction

1. Étape 1 : Deux équations en cosinus, avec la même méthode et une difficulté qui monte : la seconde porte sur une valeur négative, donc l'angle de référence ne sera pas un angle remarquable direct. Résoudre x = c sur un intervalle : 1. Trouver un angle a tel que a = c. 2. Écrire les deux familles : x = a + 2k ou x = -a + 2k. 3. Faire varier k et ne garder que ce qui tombe dans l'intervalle. Le filtrage de l'étape 3 est celui qu'on bâcle. Sur [0\,;\,2], une solution négative comme -{4} n'est pas à jeter : il faut lui ajouter 2 pour la ramener dans l'intervalle — c'est le même point du cercle, décrit autrement.
2. Étape 2 : a) On reconnaît {4} = {2}{2}, donc l'équation s'écrit x = {4}, d'où : x = {4} + 2k ou x = -{4} + 2k
3. Étape 3 : Filtrage sur [0\,;\,2] : - première famille, k = 0 : x = {4} ✓ - seconde famille, k = 0 : x = -{4}, qui est hors de l'intervalle. On ne la jette pas : avec k = 1, elle devient -{4} + 2 = 7{4} ✓ S = \{{4}\,;\,7{4}\} Contrôle par le cercle : les deux angles sont symétriques par rapport à l'axe horizontal, l'un dans le premier quadrant, l'autre dans le quatrième — là où le cosinus est positif. ✓

   S = \{{4}\,;\,7{4}\}

4. Étape 4 : b) La valeur est négative. On part de l'angle remarquable {3}, dont le cosinus vaut 1{2}, et on passe au supplémentaire pour retourner le signe : -1{2} = -{3} = ( - {3}) = 2{3} D'où x = 2{3} + 2k ou x = -2{3} + 2k.
5. Étape 5 : Filtrage sur [0\,;\,2] : - x = 2{3} ✓ (pour k = 0) - x = -2{3} est hors intervalle ; avec k = 1 : -2{3} + 2 = 4{3} ✓ S = \{2{3}\,;\,4{3}\} Contrôle : 2{3} est dans le deuxième quadrant et 4{3} dans le troisième — les deux quadrants de gauche, où l'abscisse est négative. C'est bien ce qu'on cherchait. ✓

   S = \{2{3}\,;\,4{3}\}

6. Étape 6 : L'erreur classique : Placer les solutions dans des quadrants où le cosinus a le signe opposé à celui demandé. On cherche un cosinus négatif et l'on répond {3} et 5{3}, qui sont à droite du cercle : leur cosinus vaut +1{2}. Le calcul a l'air correct, la réponse ne l'est pas. À retenir : Un cosinus négatif place ses solutions dans les deux quadrants de gauche ; un cosinus positif, dans les deux de droite. Ce contrôle est indépendant du calcul, donc il attrape les erreurs que la relecture ne voit pas. Et n'abandonne jamais une solution parce qu'elle sort de l'intervalle : ajoute ou retire 2 avant de conclure.