Lecture graphique sur les courbes sin et cos

Énoncé

À l'aide des courbes de et sur [0 ; 2], répondre aux questions suivantes : a) Pour quelles valeurs de x a-t-on x = 0 ? b) Pour quelles valeurs de x a-t-on x = 1 ? c) Sur quel(s) intervalle(s) a-t-on x > 0 ? d) Sur quel(s) intervalle(s) a-t-on x x ?

Indice : Utilise les variations et les zéros des fonctions et sur [0 ; 2].

Correction

1. Étape 1 : Une lecture graphique se fait sur la courbe, mais elle se contrôle par les valeurs remarquables : c'est ce qui distingue une lecture juste d'une lecture approximative. Les repères des deux courbes sur un tour : La courbe du sinus part de 0, monte jusqu'à 1 en {2}, redescend en s'annulant en , atteint son minimum -1 en 3{2}, puis remonte à 0 en 2. La courbe du cosinus part de 1, s'annule en {2}, atteint -1 en , s'annule à nouveau en 3{2} et revient à 1 en 2.
2. Étape 2 : a) Le cosinus s'annule là où le point du cercle est sur l'axe vertical, c'est-à-dire d'abscisse nulle. Sur un tour, cela arrive deux fois : x = {2} et x = 3{2} Sur la courbe, ce sont les deux points où elle traverse l'axe des abscisses.

   x = {2} \ ou \ x = 3{2}

3. Étape 3 : b) Le sinus atteint la valeur 1, qui est son maximum, et un maximum n'est atteint qu'en un seul point du tour : x = {2} Attention à la différence avec la question a) : une équation x = c a deux solutions par tour quand -1 < c < 1, mais une seule quand c = 1 ou c = -1. Aux extremums, les deux solutions se rejoignent.

   x = {2}

4. Étape 4 : c) Le sinus est positif là où le point du cercle est au-dessus de l'axe horizontal, c'est-à-dire dans la moitié haute du cercle. L'inégalité étant stricte, on exclut les deux bornes où il s'annule : x > 0 sur ]0\,;\,[ Sur la courbe, c'est toute la partie située au-dessus de l'axe des abscisses.

   x ]0\,;\,[

5. Étape 5 : d) Cette fois on compare deux courbes : on cherche où celle du cosinus est au-dessus de celle du sinus. Les deux se croisent là où x = x, ce qui arrive sur les bissectrices du cercle : x = {4} (les deux valent {2}{2}) et x = 5{4} (les deux valent -{2}{2}) Entre ces deux croisements, il suffit de tester un seul point de chaque morceau pour savoir qui est au-dessus.
6. Étape 6 : Testons x = 0 : 0 = 1 et 0 = 0, donc le cosinus est au-dessus. Testons x = : = -1 et = 0, donc le cosinus est en dessous. Testons x = 3{2} : = 0 et = -1, donc le cosinus est au-dessus. On en déduit les intervalles cherchés, bornes comprises puisque l'inégalité est large : x x sur [0\,;\,{4}] [5{4}\,;\,2]

   x [0\,;\,{4}] [5{4}\,;\,2]

7. Étape 7 : L'erreur classique : Placer le minimum du sinus là où sa courbe coupe l'axe, en . Couper l'axe, c'est valoir 0 — ce n'est pas être au plus bas. Le minimum du sinus vaut -1 et se trouve en 3{2}, tout en bas de la courbe. À retenir : Pour comparer deux courbes, ne devine pas la réponse sur le dessin : trouve les points de croisement, puis teste un point dans chaque morceau. Un seul point suffit, puisque les courbes ne peuvent changer de position relative qu'en se croisant. C'est plus rapide qu'une lecture à l'œil, et surtout c'est démontré.