Développer avec les identités remarquables

Énoncé

Développer et réduire les expressions suivantes : a) (x + 3)^2 b) (2x - 5)^2 c) (x + 4)(x - 4)

Indice : Utilise les trois identités remarquables : (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 et (a+b)(a-b) = a^2 - b^2.

Correction

  1. Étape 1 : Trois développements, trois identités. Mais le vrai travail n'est pas de connaître les formules : c'est de reconnaître laquelle s'applique, et surtout d'identifier correctement a et b. Les trois identités remarquables : [formule] [formule] [formule] 👉 Le geste qui supprime la plupart des erreurs : écrire explicitement qui est a et qui est b avant de développer. Deux lignes de plus, et le double produit ne se perd plus.
  2. Étape 2 : a) (x+3)^2 est de la forme (a+b)^2 avec a = x et b = 3. (x+3)^2 = x^2 + 2 x 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 Le terme du milieu, 6x, est le double produit 2ab. C'est lui qu'on oublie.

    (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9

  3. Étape 3 : b) (2x-5)^2 est de la forme (a-b)^2 avec a = 2x et b = 5. ⚠️ a est le monôme entier, pas seulement x. Donc a^2 = (2x)^2 = 4x^2 — le 2 est élevé au carré lui aussi — et 2ab = 2 2x 5 = 20x. (2x-5)^2 = 4x^2 - 20x + 25

    (2x-5)^2 = 4x^2 - 20x + 25

  4. Étape 4 : c) (x+4)(x-4) est de la forme (a+b)(a-b) avec a = x et b = 4. (x+4)(x-4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16 👉 Le résultat n'a aucun terme en x, et ce n'est pas un oubli : en développant complètement, on obtient x^2 - 4x + 4x - 16, où les deux termes du milieu s'annulent. C'est précisément ce qui rend cette identité utile.

    (x+4)(x-4) = x^2 - 16

  5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier le double produit, et écrire (x+3)^2 = x^2 + 9. Le contrôle qui l'attrape coûte trois secondes : tester une valeur. Pour x = 1, l'expression de départ vaut (1+3)^2 = 16, alors que 1 + 9 = 10. Les deux ne coïncident pas, donc le développement est faux. Second piège, en b) : prendre a = x au lieu de a = 2x. On trouverait x^2 - 10x + 25, où le coefficient de x^2 est faux. À retenir : Écrire a et b, développer, puis vérifier sur une valeur simple (x = 1 ou x = 2). Cette vérification vaut pour tout développement, dans toute l'année : elle ne prouve pas que le résultat est juste, mais elle attrape presque toutes les erreurs réelles.