Valeurs exactes aux angles remarquables

Énoncé

Calculer les valeurs exactes suivantes : a) 5{6} b) 5{3} c) 7{4} d) 4{3}

Indice : Ramène chaque angle à un angle remarquable du premier quadrant à l'aide des formules de symétrie ( - x, + x, 2 - x).

Correction

1. Étape 1 : Aucun de ces quatre angles n'est dans la table des valeurs remarquables. La méthode consiste donc à les ramener à un angle connu, en les écrivant à l'aide de ou 2. La méthode, en trois temps : 1. Décomposer l'angle sous la forme - a, + a ou 2 - a, où a est un angle remarquable. 2. Appliquer la formule de symétrie correspondante. 3. Contrôler le signe par le quadrant où se trouve l'angle. Les trois formules dont on aura besoin : [formule]
2. Étape 2 : a) On cherche à écrire 5{6} à partir de = 6{6} : 5{6} = 6 - {6} = - {6} On applique la formule des angles supplémentaires : 5{6} = ( - {6}) = -{6} = -{3}{2} Contrôle : 5{6} est entre {2} et , donc dans le deuxième quadrant, où l'abscisse est négative. Le signe moins est confirmé.

   5{6} = -{3}{2}

3. Étape 3 : b) Ici l'angle est proche d'un tour complet, donc on part de 2 = 6{3} : 5{3} = 6 - {3} = 2 - {3} Retirer un angle à un tour complet revient à prendre l'opposé, donc : 5{3} = (-{3}) = -{3} = -{3}{2} Contrôle : 5{3} est dans le quatrième quadrant (en bas à droite), où l'ordonnée est négative. ✓

   5{3} = -{3}{2}

4. Étape 4 : c) Même décomposition, avec 2 = 8{4} : 7{4} = 8 - {4} = 2 - {4} Cette fois c'est un cosinus, et le cosinus est pair : 7{4} = (-{4}) = {4} = {2}{2} Contrôle : quatrième quadrant, l'abscisse y est positive. Le résultat est bien positif — ce qui distingue nettement ce cas du précédent, où le sinus, lui, était négatif.

   7{4} = {2}{2}

5. Étape 5 : d) Ici l'angle dépasse , donc on écrit + a avec = 3{3} : 4{3} = 3 + {3} = + {3} Ajouter revient à passer au point diamétralement opposé : les deux coordonnées changent de signe. 4{3} = ( + {3}) = -{3} = -{3}{2} Contrôle : troisième quadrant (en bas à gauche), ordonnée négative. ✓

   4{3} = -{3}{2}

6. Étape 6 : L'erreur classique : Appliquer la formule d'un autre angle associé : traiter + a comme - a, ou oublier que le cosinus et le sinus ne réagissent pas pareil à la même transformation. On aboutit alors à la bonne valeur absolue avec le mauvais signe — une réponse qui ressemble à la bonne. À retenir : Le quadrant tranche tout. Avant d'écrire la réponse, situe l'angle sur le cercle et demande-toi si l'abscisse et l'ordonnée y sont positives. En bas à gauche (troisième quadrant), les deux sont négatives ; en bas à droite, seul le sinus l'est. Ce contrôle rattrape n'importe quelle formule mal recopiée.