Équation trigonométrique avec identité

Énoncé

Résoudre sur [0 ; 2] l'équation 2^2 x - x - 1 = 0.

Indice : Pose X = x pour obtenir une équation du second degré en X.

Correction

1. Étape 1 : L'équation contient ^2 x et x, mais aucune autre fonction : c'est un polynôme du second degré dont l'inconnue est x. On se ramène donc à ce qu'on sait déjà faire, par un changement d'inconnue. La méthode, en trois temps : 1. Poser X = x : l'équation devient une équation du second degré ordinaire. 2. Résoudre en X avec le discriminant. 3. Revenir à x en résolvant x = X pour chaque racine trouvée. Deux précautions accompagnent ce genre de retour. D'abord, x est toujours compris entre -1 et 1 : une racine hors de cet intervalle serait à écarter, car aucun angle ne lui correspond. Ensuite, l'intervalle est fermé en 2 : il faudra penser à cette borne, qui est un point du cercle comme un autre.
2. Étape 2 : On pose X = x. L'équation 2^2 x - x - 1 = 0 devient : 2X^2 - X - 1 = 0 On calcule le discriminant, avec a = 2, b = -1, c = -1 : = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 2 (-1) = 1 + 8 = 9 Comme > 0, il y a deux racines. Et 9 = 3 est entier, ce qui simplifie la suite.
3. Étape 3 : On applique la formule des racines : X_1 = -b - {}{2a} = 1 - 3{4} = -2{4} = -1{2} X_2 = -b + {}{2a} = 1 + 3{4} = 1 Les deux racines sont dans [-1\,;\,1] : elles sont donc toutes deux exploitables, et il faudra traiter les deux cas.

   X_1 = -1{2} X_2 = 1

4. Étape 4 : Cas 1 : x = 1. Le cosinus atteint sa valeur maximale 1 lorsque le point du cercle est tout à droite, sur l'axe horizontal. Cela se produit à chaque tour complet : x = 0 + 2k Sur l'intervalle fermé [0\,;\,2], deux valeurs conviennent : x = 0 (pour k = 0) et x = 2 (pour k = 1). Elles désignent le même point du cercle, mais ce sont bien deux solutions distinctes de l'équation sur cet intervalle — et les bornes en font partie.

   x = 0 ou x = 2

5. Étape 5 : Cas 2 : x = -1{2}. On part de l'angle remarquable {3}, dont le cosinus vaut 1{2}, et on passe au supplémentaire pour retourner le signe : -1{2} = ( - {3}) = 2{3} D'où x = 2{3} + 2k ou x = -2{3} + 2k. Sur [0\,;\,2], la première donne 2{3}, et la seconde donne -2{3} + 2 = 4{3}.

   x = 2{3} ou x = 4{3}

6. Étape 6 : On rassemble les quatre solutions, rangées dans l'ordre croissant : S = \{0\,;\,2{3}\,;\,4{3}\,;\,2\} Vérification de la solution la plus facile à oublier, x = 2 : 2^2(2) - (2) - 1 = 2 1^2 - 1 - 1 = 0 ✓

   S = \{0\,;\,2{3}\,;\,4{3}\,;\,2\}

7. Étape 7 : L'erreur classique : Oublier la solution x = 2. L'intervalle [0\,;\,2] est fermé aux deux bouts : sa borne droite en fait partie. On la perd d'autant plus facilement que 0 et 2 désignent le même point du cercle — mais ce sont deux nombres différents, et l'énoncé demande des nombres. À retenir : Deux réflexes sur ce type d'équation. D'abord, vérifier que chaque racine en X est bien dans [-1\,;\,1] : si l'une vaut 2, elle est à écarter sans autre calcul. Ensuite, regarder les crochets de l'intervalle avant de conclure : fermé, on teste les deux bornes ; ouvert, on les exclut. Ce coup d'œil coûte deux secondes et rapporte une solution entière.