Cos et sin sur le cercle

Énoncé

Soit x = 5{4}. a) Dans quel quadrant se situe le point M associé ? b) Déterminer 5{4} et 5{4}.

Indice : 5{4} = + {4}. Utilise ( + ) = - et ( + ) = - .

Correction

1. Étape 1 : Deux questions liées : la seconde se déduit de la première, car c'est le quadrant qui fixe les signes du cosinus et du sinus. Les signes par quadrant : Le point associé à un angle a pour coordonnées ( x\,;\, x). Les signes se lisent donc comme dans un repère ordinaire : | quadrant | angles | | | | --- | --- | --- | --- | | 1er | 0 à {2} | + | + | | 2e | {2} à | - | + | | 3e | à 3{2} | - | - | | 4e | 3{2} à 2 | + | - | Inutile d'apprendre ce tableau : le cosinus est l'abscisse, donc positif à droite ; le sinus est l'ordonnée, donc positif en haut.
2. Étape 2 : a) On situe 5{4} en le comparant aux bornes des quadrants. Avec = 4{4} et 3{2} = 6{4} : 4{4} < 5{4} < 6{4} L'angle est donc entre et 3{2} : le point M est dans le troisième quadrant, en bas à gauche du cercle. On peut aussi l'écrire 5{4} = + {4} : on a dépassé le demi-tour d'un huitième de tour.

   M est dans le 3^{e} quadrant

3. Étape 3 : b) L'écriture 5{4} = + {4} donne directement les valeurs. Ajouter envoie au point diamétralement opposé, donc les deux coordonnées changent de signe : ( + {4}) = -{4} = -{2}{2} ( + {4}) = -{4} = -{2}{2}

   5{4} = 5{4} = -{2}{2}

4. Étape 4 : Le contrôle par le quadrant confirme : en bas à gauche, abscisse et ordonnée sont négatives. Les deux signes moins sont donc corrects. Et il est normal que les deux valeurs soient égales : 5{4} est sur la bissectrice du troisième quadrant, exactement à l'opposé de {4}.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Appliquer la bonne formule mais garder le signe du premier quadrant, et répondre +{2}{2}. La valeur absolue est juste, le signe est faux — c'est l'erreur la plus difficile à repérer, parce que le résultat *ressemble* à la bonne réponse. À retenir : Situe toujours l'angle avant de calculer : c'est le quadrant qui décide des signes, et il permet de vérifier le résultat indépendamment de la formule employée. Deux erreurs se compensent rarement — si la formule et le quadrant s'accordent, la réponse est presque sûrement juste.