Résoudre une équation en sinus

Énoncé

Résoudre sur [0 ; 2] l'équation x = 1{2}.

Indice : Trouve tel que = 1{2}. Les solutions sont x = + 2k ou x = - + 2k.

Correction

1. Étape 1 : Même démarche que pour le cosinus, mais la règle n'est pas la même — et c'est le point à ne pas rater du chapitre. Les deux règles, à ne pas confondre : [formule] [formule] La différence se lit sur le cercle, et elle est géométrique. Deux points ont le même cosinus lorsqu'ils sont symétriques par rapport à l'axe horizontal : leurs angles sont a et -a. Deux points ont le même sinus lorsqu'ils sont symétriques par rapport à l'axe vertical : leurs angles sont a et - a.
2. Étape 2 : On reconnaît la valeur remarquable : {6} = 1{2}, donc l'équation s'écrit x = {6}. On applique la règle du sinus : x = {6} + 2k ou x = - {6} + 2k = 5{6} + 2k
3. Étape 3 : On filtre sur [0\,;\,2]. Pour k = 0, les deux valeurs {6} et 5{6} y sont bien ; pour k = 1 on dépasserait 2, et pour k = -1 on passerait sous 0. S = \{{6}\,;\,5{6}\}

   S = \{{6}\,;\,5{6}\}

4. Étape 4 : Vérification, qui ne coûte rien et qui vaut d'être prise en réflexe : {6} = 1{2} ✓ et 5{6} = ( - {6}) = {6} = 1{2} ✓ Les deux solutions sont bien dans la moitié haute du cercle, ce qui est cohérent : on cherchait un sinus positif.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Appliquer la règle du cosinus à une équation en sinus, et proposer x = {6}. La seconde solution serait alors -{6}, dont le sinus vaut -1{2} et non 1{2} : la réponse est fausse, et facile à démasquer. À retenir : Vérifie chaque solution en la réinjectant dans l'équation de départ. C'est le seul contrôle qui attrape une règle mal choisie, et il prend cinq secondes. Un mémo pour ne pas les confondre : le cosinus va avec le signe changé (-a) ; le sinus va avec - a.