Résoudre une équation en cosinus

Énoncé

Résoudre sur [- ; ] l'équation x = -{3}{2}.

Indice : Trouve tel que = {3}{2}, puis utilise ( - ) = - .

Correction

1. Étape 1 : Une équation trigonométrique n'a jamais une solution : le cercle se parcourt indéfiniment, donc les solutions viennent par familles. La méthode se déroule toujours en deux temps. Résoudre x = c : 1. Reconnaître un angle a tel que a = c, en s'appuyant sur les valeurs remarquables. 2. Appliquer la règle : x = a x = a + 2k ou x = -a + 2k, avec k entier relatif. 3. Filtrer en gardant les solutions qui tombent dans l'intervalle demandé. La raison des deux familles se voit sur le cercle : une abscisse donnée correspond à deux points, symétriques par rapport à l'axe horizontal. Ce sont les angles a et -a.
2. Étape 2 : On sait que {6} = {3}{2}. Pour obtenir l'opposé, on passe à l'angle supplémentaire, qui retourne le signe du cosinus : -{3}{2} = -{6} = ( - {6}) = 5{6} L'équation devient donc x = 5{6}.
3. Étape 3 : On applique la règle du cosinus : x = 5{6} + 2k ou x = -5{6} + 2k
4. Étape 4 : Il reste à filtrer sur [-\,;\,]. Comme 5{6} 2{,}62 et 3{,}14, les deux valeurs obtenues pour k = 0 conviennent : x = 5{6} et x = -5{6} Pour k = 1 on obtiendrait 17{6} et 7{6}, tous deux au-delà de ; pour k = -1, on sortirait par le bas. Il n'y a donc que deux solutions.

   S = \{-5{6}\,;\,5{6}\}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Ne donner qu'une seule solution, en s'arrêtant au premier angle trouvé. Une équation en cosinus a deux solutions par tour dès que la valeur cherchée est strictement comprise entre -1 et 1 — les deux points du cercle situés à la même hauteur horizontale, l'un au-dessus de l'axe, l'autre en dessous. À retenir : Dessine le cercle et trace la droite verticale d'abscisse c : elle coupe le cercle en deux points, et ces deux points sont tes deux solutions. Ce dessin de trois secondes rend l'oubli impossible — et il montre aussi pourquoi il n'y a plus qu'une solution quand c = 1 : la droite devient tangente au cercle.