Appliquer les formules de symétrie

Énoncé

Simplifier en utilisant les formules de symétrie : a) (-{3}) b) (-{6}) c) ( - {4})

Indice : (-x) = x, (-x) = - x, ( - x) = - x.

Correction

1. Étape 1 : Ces formules ne s'apprennent pas par cœur : elles se lisent sur le cercle, et c'est la seule façon de ne jamais les confondre. Les deux symétries à connaître : Angles opposés (-x), symétrie par rapport à l'axe horizontal — l'abscisse ne bouge pas, l'ordonnée change de signe : [formule] Angles supplémentaires ( - x), symétrie par rapport à l'axe vertical — l'ordonnée ne bouge pas, l'abscisse change de signe : [formule]
2. Étape 2 : a) Le cosinus est pair, donc le signe moins disparaît : (-{3}) = {3} = 1{2} Sur le cercle : les points d'angles {3} et -{3} sont l'un au-dessus de l'autre, donc à la même abscisse.

   (-{3}) = 1{2}

3. Étape 3 : b) Le sinus est impair, donc le signe moins ressort : (-{6}) = -{6} = -1{2} Sur le cercle : l'angle -{6} est sous l'axe horizontal, donc son ordonnée est négative — le signe est cohérent.

   (-{6}) = -1{2}

4. Étape 4 : c) Il s'agit cette fois d'angles supplémentaires, avec x = {4} : ( - {4}) = -{4} = -{2}{2} Contrôle : - {4} = 3{4}, qui est dans le deuxième quadrant (en haut à gauche). L'abscisse y est négative, donc le cosinus doit être négatif. C'est bien le cas.

   3{4} = -{2}{2}

5. Étape 5 : Les mots « pair » et « impair » sont abstraits ; les nombres, non. Vérifions les deux premières réponses à la calculatrice, en radians : | | l'angle | son opposé | verdict | | --- | --- | --- | --- | | | {3} = 0{,}5 | (-{3}) = 0{,}5 | inchangé | | | {6} = 0{,}5 | (-{6}) = -0{,}5 | signe retourné | C'est exactement ce que disent les deux mots : le cosinus est pair, il ignore le signe de l'angle ; le sinus est impair, il le recopie. Et la raison est géométrique, pas magique : passer de x à -x, c'est descendre au point situé juste en dessous sur le cercle. Deux points l'un au-dessus de l'autre ont la même abscisse — donc le même cosinus — et des ordonnées opposées — donc des sinus opposés.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Intervertir les deux parités et écrire (-x) = - x. C'est faux, et le contrôle est immédiat : (-0) vaudrait alors -1 alors que 0 = 1. À retenir : Ne retiens pas les quatre formules — retiens le dessin. Passer de x à -x, c'est se replier sous l'axe horizontal : on garde l'abscisse (le cosinus) et on retourne l'ordonnée (le sinus). Passer de x à - x, c'est se replier à gauche de l'axe vertical : on garde l'ordonnée et on retourne l'abscisse.