Utiliser la formule fondamentale

Énoncé

On sait que x = 3{5} et x [0 ; {2}]. Calculer x.

Indice : ^2 x + ^2 x = 1. Attention au signe de x selon le quadrant.

Correction

1. Étape 1 : On connaît le cosinus et l'on cherche le sinus : c'est exactement ce que permet la relation fondamentale. Relation fondamentale : Pour tout réel x : [formule] Ce n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore appliqué au point du cercle de rayon 1 : ses coordonnées sont ( x\,;\, x), et sa distance à l'origine vaut 1. Attention à ce que la formule donne : elle fournit ^2 x, c'est-à-dire le carré. Or deux nombres opposés ont le même carré : il y aura donc deux candidats, et c'est l'intervalle donné dans l'énoncé qui tranchera entre eux. C'est pour cela que l'énoncé le précise — cette information n'est pas décorative.
2. Étape 2 : On isole ^2 x dans la relation : ^2 x = 1 - ^2 x = 1 - (3{5})^2 = 1 - 9{25} On met au même dénominateur : ^2 x = 25{25} - 9{25} = 16{25}

   ^2 x = 16{25}

3. Étape 3 : Les deux nombres dont le carré vaut 16{25} sont 4{5} et -4{5}. Il faut donc choisir. L'énoncé précise x [0\,;\,{2}] : le point associé est dans le premier quadrant, en haut à droite du cercle. Son ordonnée y est positive ou nulle, donc x 0. On retient la valeur positive : x = 4{5}

   x = 4{5}

4. Étape 4 : Vérification, qui ne coûte qu'une addition : (3{5})^2 + (4{5})^2 = 9{25} + 16{25} = 25{25} = 1 ✓ On reconnaît au passage le triangle 3–4–5, le plus célèbre des triangles rectangles à côtés entiers.
5. Étape 5 : Pour bien voir que l'intervalle décide vraiment, refaisons le même calcul en changeant seulement cette information. Supposons maintenant x = 3{5} avec x [-{2}\,;\,0]. Le calcul de ^2 x est identique — il ne dépend que du cosinus : ^2 x = 16{25} Mais le point est cette fois dans le quatrième quadrant, sous l'axe horizontal, donc son ordonnée est négative : x = -4{5} Mêmes données de départ, même équation, réponse opposée. C'est bien l'intervalle, et lui seul, qui a tranché — voilà pourquoi une correction ne peut jamais s'arrêter à ^2 x.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Répondre x = 4{5}, ou écrire directement x = 1 - ^2 x en oubliant les carrés. Dans le premier cas on n'a pas exploité l'intervalle donné ; dans le second on obtient 16{25}, qui est le carré du sinus et non le sinus. À retenir : Dès qu'un énoncé précise un intervalle, c'est qu'il servira — presque toujours à choisir un signe. Repère le quadrant, et souviens-toi que le cosinus est l'abscisse (positif à droite) et le sinus l'ordonnée (positif en haut).