Valeurs exactes de cos et sin

Énoncé

Donner les valeurs exactes de : a) {3} et {3} b) {4} et {4} c) {6} et {6}

Indice : Utilise le tableau des valeurs remarquables.

Correction

1. Étape 1 : Ces six valeurs reviennent dans tout le chapitre, et dans toute la Terminale. Les apprendre par cœur marche mal — on finit par les intervertir. Mieux vaut savoir les reconstruire. La table qui se retrouve toute seule : Range les trois angles dans l'ordre croissant et écris les sinus sous la forme {\,\,}{2} : | angle | {6} | {4} | {3} | | --- | --- | --- | --- | | | {1}{2} | {2}{2} | {3}{2} | | | {3}{2} | {2}{2} | {1}{2} | Les numérateurs sont 1, 2, 3 : le sinus les parcourt dans l'ordre croissant, le cosinus dans l'ordre décroissant. La raison est visible sur le cercle : quand l'angle grandit de 0 à {2}, le point monte — donc son ordonnée (le sinus) augmente pendant que son abscisse (le cosinus) diminue.
2. Étape 2 : a) L'angle {3} est le plus grand des trois : son sinus est donc le plus grand, et son cosinus le plus petit. {3} = {1}{2} = 1{2} {3} = {3}{2}

   {3} = 1{2} {3} = {3}{2}

3. Étape 3 : b) L'angle {4} est au milieu, et c'est le seul cas où les deux valeurs coïncident : {4} = {4} = {2}{2} C'est logique : {4} correspond à 45°, la bissectrice — le point du cercle y a la même abscisse que son ordonnée.

   {4} = {4} = {2}{2}

4. Étape 4 : c) L'angle {6} est le plus petit : son cosinus est donc le plus grand, et son sinus le plus petit. {6} = {3}{2} {6} = 1{2} On remarque que les valeurs de {6} sont exactement celles de {3}, échangées — parce que ces deux angles sont complémentaires : {6} + {3} = {2}.

   {6} = {3}{2} {6} = 1{2}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Intervertir et , en répondant {3} = {3}{2}. Le 3 de l'angle appelle le 3, et le piège se referme. Or c'est l'inverse : plus l'angle est grand, plus le cosinus est petit. À retenir : Deux contrôles, chacun d'une seconde. Le cosinus décroît de 1 à 0 quand l'angle va de 0 à {2} ; le sinus fait l'inverse. Et toutes ces valeurs sont entre 0 et 1 : si tu écris 3 sans le diviser par 2, tu obtiens 1{,}73, ce qu'aucun cosinus ni sinus ne peut valoir.