Convertir degrés en radians

Énoncé

Convertir en radians : a) 120° b) 150° c) 270° d) 315°

Indice : Utilise la relation 180° = rad, donc 1° = {180} rad.

Correction

1. Étape 1 : Le radian n'est pas une unité arbitraire : c'est la mesure de l'angle par la longueur de l'arc qu'il découpe sur un cercle de rayon 1. Un tour complet mesure donc 2 radians, puisque le périmètre de ce cercle vaut 2. La correspondance de base : Un demi-tour vaut 180° en degrés et en radians : [formule] Les deux mesures sont proportionnelles, donc on passe de l'une à l'autre par une simple règle de trois : [formule]
2. Étape 2 : a) 120° = 120 {180} = 120{180} On simplifie la fraction en divisant haut et bas par 60 : 120{180} = 2{3}, donc 120° = 2{3}

   120° = 2{3}

3. Étape 3 : b) 150° = 150{180}. On divise haut et bas par 30 : 150{180} = 5{6}, donc 150° = 5{6}

   150° = 5{6}

4. Étape 4 : c) 270° = 270{180}. On divise par 90 : 270{180} = 3{2}, donc 270° = 3{2} Contrôle immédiat : 270° représente trois quarts de tour, et 3{2} est bien les trois quarts de 2.

   270° = 3{2}

5. Étape 5 : d) 315° = 315{180}. On divise par 45 : 315{180} = 7{4}, donc 315° = 7{4}

   315° = 7{4}

6. Étape 6 : Deux appuis à garder, qui rendent ces conversions presque immédiates. Les quatre repères du tour, à connaître comme on connaît les heures sur une horloge : | degrés | 90° | 180° | 270° | 360° | | --- | --- | --- | --- | --- | | radians | {2} | | 3{2} | 2 | Avec eux, 270° se lit sans aucun calcul, et 315° se situe entre 3{2} et 2 — ce que confirme 7{4}. Le contrôle en sens inverse. Pour revenir des radians aux degrés, on multiplie par 180{} — donc le disparaît : 2{3} 180{} = 2 180{3} = 120 ✓ Refaire le trajet dans l'autre sens ne coûte qu'une ligne et confirme la réponse indépendamment du calcul d'origine.
7. Étape 7 : L'erreur classique : Multiplier par 180{} au lieu de {180} — c'est-à-dire faire la conversion dans l'autre sens. On obtiendrait pour 120° un résultat d'environ 6\,875, ce qui ne veut rien dire : un angle ne peut pas dépasser 2 6{,}28 radians en un tour. À retenir : Contrôle par quadrant, en trois secondes. Un angle entre 90° et 180° doit tomber entre {2} 1{,}57 et 3{,}14. Ici 2{3} 2{,}09 : c'est cohérent. Ce réflexe attrape à la fois les conversions inversées et les erreurs de simplification.