Nombres complexes : cours complet maths expertes
Les nombres complexes prolongent l'ensemble des réels et te donnent un langage puissant pour la géométrie, l'algèbre et les signaux. En maths expertes, tu dois être à l'aise avec la forme algébrique, le module, le conjugué, puis la forme trigonométrique et l'exponentielle complexe. Voici un parcours structuré pour tout relier.
L'idée centrale : tu manipules des expressions où $i$ intervient, mais toutes les grandeurs physiques mesurables (longueurs, intensités) restent en général des réels : le complexe est un outil de calcul et de représentation.
L'imaginaire : $i^2 = -1$
On introduit un nombre noté $i$ tel que
$i^2 = -1.$
L'ensemble des nombres complexes se note $\mathbb{C}$. Tout élément $z$ s'écrit de façon unique sous la forme
$z = a + bi,$
avec $a$ et $b$ réels : c'est la forme algébrique. Le réel $a$ est la partie réelle $\operatorname{Re}(z)$, et $b$ est la partie imaginaire $\operatorname{Im}(z)$.
Tu calcules comme d'habitude en développant, sauf que tu remplaces $i^2$ par $-1$ dès qu'il apparaît.
Attention aux identités
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ reste vrai si $a$ et $b$ sont des complexes, mais $(a+bi)^2$ n'est pas égale à $a^2 + b^2 i^2$ si tu oublies le double produit : refais le calcul proprement. De même, $\frac{1}{a+bi}$ se rationalise en multipliant haut et bas par $\overline{a+bi}$.
Module et conjugué
Pour $z = a + bi$, le module est
$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$
Géométriquement, dans le plan complexe, $|z|$ est la distance entre l'origine et le point d'affixe $z$.
Le conjugué de $z = a + bi$ est
$\overline{z} = a - bi.$
Propriétés utiles : $\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$, $\overline{z z'} = \overline{z},\overline{z'}$, et $z \overline{z} = |z|^2$ (réel positif). Pour inverser un complexe non nul :
$z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}.$
Forme trigonométrique
Si $z \neq 0$, tu peux écrire
$z = r(\cos \theta + i \sin \theta),$
où $r = |z|$ et $\theta$ est un argument de $z$, noté $\arg(z)$ à $2\pi$ près. Passer de la forme algébrique $a + bi$ à la forme trigonométrique, c'est calculer $r$ puis un angle $\theta$ tel que $\cos \theta = a/r$ et $\sin \theta = b/r$ (en respectant le quadrant du point $(a,b)$).
La forme trigonométrique est idéale pour les produits et quotients : les modules se multiplient ou se divisent, et les arguments s'ajoutent ou se soustraient.
Racines et équations
Pour résoudre $z^n = w$ avec $w \neq 0$, passe en forme exponentielle : $w = |w| e^{i\theta}$ et cherche $z = r e^{i\varphi}$. Tu obtiens $r^n = |w|$ et $n\varphi \equiv \theta \pmod{2\pi}$, ce qui donne en général plusieurs solutions régulièrement réparties sur le cercle de rayon $r$. C'est l'une des situations où l'argument « à $2\pi$ près » devient vraiment concret.
Exponentielle complexe et formule d'Euler
On définit pour tout réel $\theta$ :
$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta.$
C'est la formule d'Euler. Elle te permet d'écrire tout complexe non nul sous forme exponentielle :
$z = r e^{i\theta},$
avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.
Les règles sont les mêmes qu'avec l'exponentielle réelle pour le produit :
$e^{i\theta} e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')},$
ce qui redonne les formules d'addition pour cosinus et sinus si tu développes.
Formule de Moivre
Pour tout entier $n$,
$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta),$
soit $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$. C'est précieux pour linéariser ou calculer des puissances.
Lien avec la géométrie
Multiplier par un complexe $z_0 = r_0 e^{i\theta_0}$ revient à appliquer une similitude : homothétie de rapport $r_0$ et rotation d'angle $\theta_0$. Ajouter un complexe fixe, c'est une translation. Ce regard géométrique t'aide souvent en exercice de composition de transformations.
Les affixes de points alignés ou cocycliques se traduisent par des arguments ou des modules bien choisis : parfois, une égalité du type $\frac{z - a}{z - b}$ imaginaire pur suffit à traduire un angle droit.
Conseils pour t'entraîner
Alterne calcul algébrique pur et lecture géométrique sur une figure. Vérifie systématiquement avec un module : $|zz'| = |z||z'|$. Enfin, entraîne-toi à passer des trois formes (algébrique, trigonométrique, exponentielle) dans les deux sens : c'est là que la fluidité se gagne.
Quand un exercice te demande de factoriser ou de simplifier une expression avec $i$, commence par regrouper parties réelles et imaginaires comme tu le ferais pour des réels, puis remplace $i^2$ par $-1$ à la fin des simplifications. Pour les équations du second degré à coefficients réels, le discriminant te dit si les racines sont réelles ou complexes conjuguées : c'est un bon moyen de contrôle.
En devoir surveillé, écris toujours une phrase de conclusion du type « Les solutions sont… » avec la forme demandée (algébrique ou exponentielle). Le correcteur voit ainsi que tu maîtrises le formalisme attendu, pas seulement le calcul intermédiaire.
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