Matrices et applications : maths expertes terminale
Les matrices codent des transformations linéaires et des systèmes. En terminale maths expertes, tu manipules des tableaux de nombres, tu les additionnes, tu les multiplies avec attention, et tu relies tout ça à la résolution d'équations et à la géométrie. Voici une synthèse pour avancer sereinement.
Pense à la matrice comme un objet qui transforme des vecteurs colonne : chaque colonne de $A$ indique où part le vecteur de la base canonique correspondante. Cette image mentale aide quand tu dois reconstruire $A$ à partir d'une description géométrique.
Définition et notations
Une matrice de taille $m \times n$ est un tableau à $m$ lignes et $n$ colonnes. L'élément situé à la ligne $i$ et la colonne $j$ se note souvent $a_{ij}$.
Une matrice colonne (vecteur de $\mathbb{R}^n$) s'écrit avec un seul bloc vertical ; une matrice ligne est l'inverse. En pratique, tu identifies souvent les points du plan ou de l'espace avec des matrices colonnes pour appliquer des transformations.
Addition et multiplication par un scalaire
Tu ne peux additionner que des matrices de même taille : tu additionnes coefficient par coefficient. La multiplication par un réel $\lambda$ multiplie chaque coefficient par $\lambda$. Ces opérations vérifient les règles habituelles d'un espace vectoriel (associativité de l'addition, distributivité par rapport au scalaire, etc.).
Multiplication de matrices
Si $A$ est de taille $m \times n$ et $B$ de taille $n \times p$, le produit $AB$ existe et est de taille $m \times p$. Le coefficient $(i,j)$ de $AB$ est la somme des produits « ligne $i$ de $A$ » fois « colonne $j$ de $B$ » :
$(AB){ij} = \sum{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}.$
Attention : en général $AB \neq BA$ (non-commutativité). Vérifie toujours les dimensions avant d'écrire un produit.
Propriété utile
$(AB)C = A(BC)$ lorsque les dimensions sont compatibles. Tu peux aussi écrire l'action sur un vecteur colonne $X$ : $Y = AX$.
La transposée $A^\top$ (si tu l'utilises dans ton cours) échange lignes et colonnes ; pour des matrices réelles, certaines propriétés $(AB)^\top = B^\top A^\top$ simplifient les calculs dans les exercices de symétrie.
Matrices carrées
Une matrice carrée $n \times n$ représente souvent un endomorphisme de $\mathbb{R}^n$. La matrice identité $I_n$ a des $1$ sur la diagonale et des $0$ ailleurs ; elle vérifie $AI_n = I_n A = A$ pour toute matrice carrée $A$ de bonne taille.
Déterminant $2 \times 2$ et inverse
Pour $A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$, le déterminant est
$\det(A) = ad - bc.$
Si $\det(A) \neq 0$, la matrice est inversible et
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}.$
Tu vérifies toujours que $A A^{-1} = I_2$. Si le déterminant est nul, $A$ n'est pas inversible.
Résolution de systèmes linéaires
Un système du type
$\begin{cases} ax + by = e \ cx + dy = f \end{cases}$
s'écrit $AX = B$ avec $A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} e \ f \end{pmatrix}$.
Si $A$ est inversible, la solution unique est $X = A^{-1} B$. C'est la version matricielle de la méthode par combinaisons ou substitution que tu connais déjà.
Quand $\det(A) = 0$, le système peut n'avoir aucune solution ou une infinité de solutions : tu retrouves alors le cas d'intersection de droites en deux dimensions (droites parallèles distinctes ou confondues).
Échelle sur un exemple simple
Pour $2 \times 2$, tu peux aussi appliquer les formules de Cramer si ton programme les mentionne : $x$ et $y$ comme quotients de déterminants. C'est la même chose que $X = A^{-1}B$, mais parfois plus rapide à écrire sur un brouillon.
Applications : géométrie et compositions
En dimension $2$, certaines matrices décrivent des rotations, des symétries, des homothéties ou des affinités (selon le programme et les exercices). Composer deux transformations correspond à multiplier les matrices : attention à l'ordre — la matrice de « d'abord $f$, puis $g$ » s'écrit souvent comme produit $M_g M_f$ appliqué aux colonnes, selon la convention de ton cours (vérifie toujours la convention du prof).
Erreurs fréquentes à éviter
Confondre $(AB)^2$ avec $A^2 B^2$. Oublier que le produit matriciel dépend de l'ordre. Calculer un déterminant $2 \times 2$ avec un mauvais signe sur les diagonales secondaires. Reprends chaque exercice en contrôlant les dimensions à chaque étape.
Si tu dois composer plusieurs transformations, note sur ton brouillon l'ordre des opérations : « image de $X$ par $f$, puis par $g$ » et vérifie avec un point simple dont tu connais l'image attendue (par exemple un sommet d'un carré de référence).
Avec de la pratique régulière, les matrices deviennent un outil rapide pour structurer tes calculs au lieu de t'éparpiller dans des systèmes mal rangés.
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