L'intégration en terminale : comprendre et calculer
L’intégration, c’est l’opération « inverse » de la dérivation dans une certaine mesure : à partir d’un taux de variation (une dérivée), tu remontes à une grandeur accumulée (une aire, une quantité totale). En terminale, tu dois à la fois comprendre ce que signifie $\int_a^b f(t),\mathrm{d}t$ et savoir calculer des intégrales avec les bons outils.
Primitives : la base du calcul intégral
Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'(x)=f(x)$ pour tout $x \in I$.
Si $F$ est une primitive de $f$, alors toutes les primitives sont de la forme $F(x)+C$ (constante réelle). En pratique, quand tu calcules une intégrale définie, cette constante disparaît — mais elle compte quand tu cherches « une » primitive particulière avec une condition initiale.
Tableau des primitives usuelles (à maîtriser)
Tu dois savoir reconnaître rapidement des primitives pour des fonctions du type polynômes, $\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{u'}{u}$, $e^x$, compositions simples avec $u'$ en facteur, etc.
Quelques exemples centraux :
- Si $f(x)=x^n$ avec $n \neq -1$, une primitive est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
- Si $f(x)=\dfrac{1}{x}$ sur $]0,+\infty[$, une primitive est $\ln(x)$.
- Si $f(x)=e^x$, une primitive est $e^x$.
Le jeu en intégration consiste souvent à se ramener à une forme du tableau en faisant apparaître un facteur $u'(x)$.
Reconnaître $\dfrac{u'}{u}$ et $u' e^u$
Deux motifs reviennent constamment :
- Une primitive de $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ est $\ln(|u(x)|)$ sur un intervalle où $u$ ne s’annule pas (en pratique, tu travailles souvent sur un intervalle où $u>0$ et tu écris $\ln(u(x))$).
- Une primitive de $u'(x)e^{u(x)}$ est $e^{u(x)}$.
Si tu bloques sur une intégrale, demande-toi : « est-ce que c’est presque la dérivée d’un logarithme ou d’une exponentielle composée ? » — ça débloque une grande famille d’exercices.
Intégrale définie : définition et lien avec les primitives
Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $F$ est une primitive de $f$, alors :
$\int_a^b f(t),\mathrm{d}t = F(b) - F(a)$
Notation courante : $\big[F(t)\big]_a^b = F(b)-F(a)$.
Interprétation géométrique : si $f$ est positive sur $[a,b]$, l’intégrale représente l’aire sous la courbe $y=f(x)$, entre $x=a$ et $x=b$ (en unités d’aire du repère). Si $f$ change de signe, l’intégrale compte les aires algébriques : au-dessus de l’axe, c’est positif ; en dessous, c’est négatif.
Propriétés indispensables
Linéarité
Pour des fonctions $f$ et $g$ et des réels $\alpha,\beta$ :
$\int_a^b \big(\alpha f(t)+\beta g(t)\big),\mathrm{d}t = \alpha \int_a^b f(t),\mathrm{d}t + \beta \int_a^b g(t),\mathrm{d}t$
Relation de Chasles
Si $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$, $b$, $c$ :
$\int_a^c f(t),\mathrm{d}t = \int_a^b f(t),\mathrm{d}t + \int_b^c f(t),\mathrm{d}t$
C’est précieux quand tu découpes un domaine ou quand tu simplifies un calcul en introduisant un point intermédiaire.
Positivité
Si $f$ est continue et positive sur $[a,b]$ avec $a<b$, alors :
$\int_a^b f(t),\mathrm{d}t \geq 0$
Et si de plus $f$ n’est pas identiquement nulle « de façon évidente » selon l’hypothèse du problème, on peut souvent conclure une stricte positivité — utile pour comparer des intégrales.
Valeur moyenne
La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ (avec $a \neq b$) est :
$\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t),\mathrm{d}t$
Interprétation : c’est la hauteur constante qui donnerait le même rectangle d’aire que l’aire sous la courbe sur $[a,b]$.
Intégration par parties (IPP)
Si $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $[a,b]$ :
$\int_a^b u(t)v'(t),\mathrm{d}t = \big[u(t)v(t)\big]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t),\mathrm{d}t$
Tu choisis $u$ et $v'$ pour que le nouveau terme $\int u'v$ soit plus simple. Classique : intégrer un produit « polynôme × exponentielle » ou « polynôme × logarithme ».
Exemple d’esprit (sans remplacer ton entraînement)
Sur $[0,1]$, une intégrale du type $\displaystyle \int_0^1 x e^x,\mathrm{d}x$ se traite en posant $u(x)=x$ et $v'(x)=e^x$ : une IPP te ramène à $\int e^x$, plus simple. L’astuce n’est pas « magique » : tu choisis $u$ polynomiale pour que $u'$ baisse le degré et simplifie la boucle.
Méthode de travail
Pour progresser, alterne trois types d’exercices :
- Primitives simples : vitesse et exactitude.
- Intégrales définies : soin des bornes et des signes.
- Problèmes d’aire / valeur moyenne : traduction géométrique du calcul.
Relis systématiquement le domaine de validité des fonctions en jeu, surtout avec $\ln$ ou des fractions.
Aire entre deux courbes
Quand on te demande l’aire entre $y=f(x)$ et $y=g(x)$ sur $[a,b]$, tu intègres souvent $|f(x)-g(x)|$. Sur un intervalle où $f \geq g$, ça devient $\displaystyle \int_a^b (f(x)-g(x)),\mathrm{d}x$. Si les courbes se croisent, tu découpes avec Chasles pour appliquer la bonne différence sur chaque morceau. Pense à dessiner mentalement : ça évite d’intégrer le mauvais signe.
Unités et cohérence
Dans un problème avec unités (vitesses, débits, etc.), vérifie que l’intégrale représente bien une grandeur accumulée : par exemple, une vitesse en fonction du temps s’intègre en déplacement si les unités concordent. Ce n’est pas toujours au programme sous cette forme, mais ça t’aide à ne pas confondre « primitive » et « quantité physique finale » dans les modélisations.
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