Géométrie dans l'espace : vecteurs et plans
La géométrie dans l'espace te suit souvent jusqu'en terminale : vecteurs en 3D, plans, droites et positions relatives. Ce guide te donne les repères pour relier les idées entre elles et gagner du temps aux contrôles.
Repères et coordonnées dans l'espace
Tu fixes un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Un point $M$ a des coordonnées $(x, y, z)$ et un vecteur $\vec{u}$ s'écrit $(x, y, z)$ dans cette base. Le fait que le repère soit orthonormé est crucial : les longueurs et les angles se calculent avec les mêmes formules qu'en 2D, en ajoutant la troisième composante.
Pour passer d'un point à un vecteur, tu utilises souvent $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,, y_B - y_A,, z_B - z_A)$. Cette formule est ta bouée de sauvetage dans presque tous les exercices de géométrie analytique.
Dès que tu vois un cube, un tétraèdre ou une pyramide dans l'énoncé, repère les arêtes perpendiculaires : tu peux souvent placer l'origine en un sommet et les axes le long de trois arêtes pour simplifier les coordonnées. Ce choix de repère te fait gagner du temps parce que beaucoup de coordonnées deviennent nulles ou évidentes.
Vecteurs 3D : norme et produit scalaire
La norme (longueur) d'un vecteur $\vec{u} = (x, y, z)$ est donnée par
$|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.$
Le produit scalaire de $\vec{u} = (x, y, z)$ et $\vec{v} = (x', y', z')$ se note $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'.$
Tu peux aussi l'écrire avec les normes et l'angle géométrique $\theta$ entre les deux vecteurs :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta.$
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. C'est la clé pour montrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan, ou que deux droites sont perpendiculaires dans l'espace.
Équation d'un plan : $ax + by + cz + d = 0$
Un plan $\mathcal{P}$ admet une équation cartésienne de la forme
$ax + by + cz + d = 0,$
où le vecteur $\vec{n} = (a, b, c)$ est un vecteur normal au plan (non nul). Toute équation équivalente (multipliée par un réel non nul) décrit le même plan.
Pour trouver l'équation d'un plan passant par trois points non alignés, tu peux chercher $\vec{n}$ orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan, par exemple $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, en résolvant le système $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$, puis fixer $a, b, c$ à une solution simple et déterminer $d$ en injectant les coordonnées d'un point.
Distance d'un point à un plan
Si le plan a pour équation $ax + by + cz + d = 0$ et que le point a pour coordonnées $(x_0, y_0, z_0)$, la distance du point au plan est
$\frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.$
Retiens bien le dénominateur : c'est la norme du vecteur normal.
Droites dans l'espace
Une droite peut être donnée par un système d'équations (intersection de deux plans non parallèles) ou, plus souvent, par un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{d}$ non nul : tout point $M$ de la droite vérifie $\overrightarrow{AM} = t \vec{d}$ pour un réel $t$, ce qui donne une représentation paramétrique $(x(t), y(t), z(t))$.
Pour passer d'une forme paramétrique à l'intersection de deux plans, tu exprimes $x$, $y$, $z$ en fonction de $t$ et tu élimines $t$ entre deux équations pour obtenir deux équations linéaires en $x$, $y$, $z$ sans paramètre : l'intersection des deux plans correspondants est ta droite. Réciproquement, à partir de deux équations de plans, tu peux poser un paramètre sur l'une des coordonnées si le système est compatible.
En contrôle, vérifie toujours que ton vecteur directeur n'est pas nul et que tu n'as pas confondu vecteur normal (plan) et vecteur directeur (droite).
Positions relatives : plans et droites
Deux plans
- Parallèles : leurs vecteurs normaux sont colinéaires. S'ils ont un point commun, ce sont le même plan ; sinon, plans strictement parallèles.
- Sécants : les normaux ne sont pas colinéaires ; l'intersection est une droite.
Une droite et un plan
- La droite est parallèle au plan si son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan ($\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$) et que la droite n'est pas incluse dans le plan.
- Elle est perpendiculaire au plan si $\vec{d}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.
- Sinon, elle coupe le plan en un unique point.
Deux droites
Dans l'espace, deux droites peuvent être parallèles, sécantes (un point commun), ou non coplanaires (ni parallèles ni sécantes) : c'est une situation typique de terminale qu'il faut savoir illustrer avec un cube ou un tétraèdre.
Conseils pour tes exercices
Trace un petit schéma même si ce n'est pas demandé : repérer les normaux et les vecteurs directeurs t'évite les confusions. Entraîne-toi à passer de la forme paramétrique à des équations de plans, et récite mentalement : « scalaire pour angles et orthogonalité, norme pour les distances ».
Quand tu cherches un angle entre deux droites, tu prends souvent le vecteur directeur de chaque droite et tu utilises le produit scalaire pour obtenir $\cos \theta$ (attention : l'angle aigu entre droites est parfois demandé, donc tu peux prendre la valeur absolue si nécessaire). Pour l'angle entre une droite et un plan, pense à l'angle entre $\vec{d}$ et le vecteur normal $\vec{n}$ : il est complémentaire de l'angle géométrique droite-plan dans la configuration usuelle.
Enfin, relis systématiquement l'énoncé pour savoir ce qui est orthogonal à quoi : confondre « perpendiculaire au plan » et « parallèle au plan » est une erreur classique quand tu vas trop vite.
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