Fonction logarithme népérien : guide et méthodes
Le logarithme népérien $\ln$ est la fonction « réciproque » de la fonction exponentielle sur $]0,+\infty[$ : il transforme des produits en sommes et te permet de résoudre des équations où l’inconnue est dans un exposant. Voici une feuille de route claire pour le maîtriser au bac.
Définition et domaine
Pour tout réel $x$, $e^x > 0$. Réciproquement, pour tout $y>0$, il existe un unique réel $x$ tel que $e^x=y$. On note cet unique réel $\ln(y)$.
Ainsi :
$\ln : ]0,+\infty[ \to \mathbb{R}$
et pour tout $y>0$ :
$e^{\ln(y)} = y$
et pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
$\ln(e^x) = x$
Conséquence : toute expression $\ln(\ldots)$ impose strictement son argument
Propriétés algébriques
Pour $a>0$ et $b>0$ :
$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
$\ln(a^n) = n\ln(a) \quad (n \in \mathbb{Z} \text{ en général sur le domaine où } a^n>0)$
Ces formules servent à développer ou factoriser des expressions avant de dériver, et à transformer des équations compliquées en équations plus simples.
Piège : $\ln(a+b)$ ne vaut pas $\ln(a)+\ln(b)$ en général.
Transformer une égalité multiplicative en addition
Si tu as $A=B$ avec $A,B>0$, tu peux écrire $\ln(A)=\ln(B)$. C’est souvent la clé quand une relation contient des produits, des quotients ou des puissances : le $\ln$ linearise la complexité multiplicative. Inversement, si tu veux repasser à une expression sans logarithme, tu exponenties avec prudence en vérifiant les positivités.
Dérivée et variations
La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et :
$\ln'(x) = \frac{1}{x}$
Comme $\dfrac{1}{x}>0$ sur $]0,+\infty[$, $\ln$ est strictement croissante sur son domaine.
Pour $\ln(u(x))$ avec $u$ dérivable et $u(x)>0$ sur un intervalle :
$\big(\ln(u(x))\big)' = \frac{u'(x)}{u(x)}$
Le signe de la dérivée dépend donc de $u'$ puisque $u(x)$ est
Limites classiques
- $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
- $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
Ces limites expliquent pourquoi les études de fonctions mêlant $\ln$ ont souvent des asymptotes verticales en $0^+$ et des branches qui montent lentement vers $+\infty$.
Croissances comparées
Au voisinage de $+\infty$, $\ln(x)$ croît vers $+\infty$, mais plus lentement que $x$, que $x^2$, que $e^x$, etc. En pratique, pour des limites du type $\dfrac{\ln(x)}{x}$, tu attends souvent $0$ quand $x \to +\infty$.
En $0^+$, des expressions du type $x\ln(x)$ apparaissent : par croissances comparées (selon ton cours), $x\ln(x)$ tend vers $0$ quand $x \to 0^+$.
Étude de fonction type $f(x)=a\ln(x)+bx+c$
Sur $]0,+\infty[$, tu dérives : $f'(x)=\dfrac{a}{x}+b$. Selon les signes de $a$ et $b$, l’équation $f'(x)=0$ peut avoir une solution simple $x=-\dfrac{a}{b}$ (quand c’est défini et dans le domaine). Ce schéma revient souvent : une partie « logarithme » plus une partie affine/polynomiale, et une seule valeur critique à discuter.
Résolution d'équations
Type $\ln(u(x)) = 0$
Équivaut à $u(x)=1$ (sur le domaine où $u(x)>0$).
Type $\ln(u(x)) = \ln(v(x))$
Sur un intervalle où $u$ et $v$ sont strictement positives, cela équivaut à $u(x)=v(x)$.
Type mélangeant $\ln$ et polynômes
Tu passes souvent par un changement d’inconnue ou une étude de fonction $f(x)=\ln(x)-g(x)$ avec tableau de variations et théorème des valeurs intermédiaires pour montrer l’existence / l’unicité de solutions.
Résolution d’inéquations
Comme $\ln$ est strictement croissante :
$\ln(u(x)) \leq \ln(v(x)) \quad \Leftrightarrow \quad u(x) \leq v(x)$
à condition que $u(x)>0$ et $v(x)>0$ sur l’intervalle étudié. Sinon, tu découpes le domaine en morceaux où les contraintes de positivité sont stables.
Méthode de travail
Pour progresser, entraîne-toi systématiquement à :
- Écrire le domaine avant toute manipulation lourde.
- Dériver les expressions $\ln(u)$ avec le bon facteur $u'/u$.
- Résoudre des équations simples puis des problèmes d’existence de solutions avec TVI.
Le logarithme récompense la rigueur : une fois les règles intégrées, les exercices deviennent beaucoup plus lisibles.
Lien avec l’exponentielle : vérifier tes solutions
Quand tu résous une équation en passant par $\ln$, pense à reinjecter les solutions candidates dans l’équation initiale si tu as élevé au carré, exponentié plusieurs fois, ou manipulé des équivalences sur des domaines morcelés. Même sans tricher, ce contrôle te sauve d’une solution « parasite » introduite par une transformation non équivalente.
Ce que le correcteur attend sur une copie
Une bonne solution montre : le domaine, une fonction auxiliaire si besoin, des variations cohérentes, puis une conclusion qui répond exactement au nombre de solutions demandé. Si tu annonces « une unique solution », assure-toi d’avoir montré à la fois existence (souvent TVI ou valeur évidente) et unicité (souvent stricte monotonie).
Pour t’entraîner, alterne trois niveaux : équations « directes » ($\ln(2x-1)=\ln(3)$), équations où il faut isoler le $\ln$ avant d’exponentier, et problèmes d’étude complète où le $\ln$ n’est qu’un morceau d’une fonction plus grande. Ce passage progressif évite de te retrouver bloqué quand l’énoncé mélange plusieurs outils.
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