Fonction exponentielle : tout savoir pour le bac
La fonction exponentielle $x \mapsto e^x$ est l’une des fonctions les plus importantes du programme : elle transforme des sommes en produits, elle est égale à sa propre dérivée, et elle intervient dans une grande partie des études de fonctions « composées ». Voici ce qu’il faut maîtriser pour être efficace le jour du bac.
Définition et propriétés algébriques
On note $\exp(x)$ ou $e^x$. Pour tous réels $a$ et $b$ :
$e^{a+b} = e^a \times e^b$
$e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
$(e^a)^n = e^{na} \quad (n \in \mathbb{Z}, \text{ puis extensions usuelles})$
Ces règles te permettent de factoriser, de lineariser des expressions dans des équations, et de comparer des grandeurs sans calculatrice dans certains cas.
Attention : en général, $e^{a+b} \neq e^a + e^b$. C’est une confusion classique à éviter.
Pourquoi cette fonction est « spéciale »
La fonction exponentielle est l’unique fonction bien régulière qui vérifie $f'=f$ avec une condition normale (comme $f(0)=1$). Pour toi, le point pratique est plus simple : dériver $e^x$ ne change pas l’expression, ce qui rend beaucoup d’études de variations plus lisibles — surtout quand tu factorises $e^{u(x)}$ qui est toujours strictement positif.
Dérivée et variations
La fonction $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$(e^x)' = e^x$
Conséquence directe : $e^x > 0$ pour tout $x$, donc la dérivée est toujours strictement positive : $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Pour une composée $f(x)=e^{u(x)}$, par la chaîne :
$f'(x) = u'(x),e^{u(x)}$
Comme $e^{u(x)}$ est toujours
Limites indispensables
Quelques références à connaître et savoir réutiliser :
- $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
- $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
Pour les croissances comparées avec les polynômes au voisinage de $+\infty$, tu utilises souvent des résultats du type : $e^x$ domine $x^n$ (pour $n$ fixé) — en pratique, $\dfrac{e^x}{x^n} \to +\infty$ quand $x \to +\infty$.
Au voisinage de $-\infty$, $e^x$ tend vers $0$ plus vite que beaucoup d’autres termes : pense à factoriser ou comparer les ordres de grandeur.
Croissances comparées : l’idée
Quand une expression mélange $e^x$, polynômes et parfois $\ln(x)$, tu ne « devines » pas : tu identifies le terme dominant en $+\infty$ ou en $-\infty$ selon les théorèmes vus en cours.
Souvent, pour étudier une limite en $+\infty$, tu factorises la quantité dominante pour écrire une forme du type « constante + terme qui tend vers $0$ ».
Étude type : $f(x) = x e^{-x}$
C’est un classique qui combine produit et exponentielle négative en exposant.
- Domaine : $\mathbb{R}$.
- Dérivée : en posant $u(x)=x$ et $v(x)=e^{-x}$, produit :
$f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1-x)$
Comme $e^{-x}>0$, le signe de $f'$ est celui de $1-x$ : croissance sur $]-\infty,1]$, décroissance sur $[1,+\infty[$, maximum en $x=1$.
- Limites : quand $x \to +\infty$, $e^{-x}$ décroit très vite ; le produit tend vers $0$ (croissances comparées). Quand $x \to -\infty$, $x \to -\infty$ et $e^{-x} \to +\infty$, mais l’étude détaillée dépend des outils du programme — l’important est de savoir organiser la factorisation et le signe de $f'$.
Ce modèle t’entraîne à ne pas dériver $e^{-x}$ comme $-e^x$ : dérive $-x$ en facteur.
Variante : étudier $e^{u(x)}$ sur un intervalle
Quand $f(x)=e^{u(x)}$, tu peux souvent éviter de recomposer toute l’étude : le signe de $f'(x)$ suit celui de $u'(x)$. Pour les limites, reviens aux limites de $u(x)$ puis utilise la continuité de $\exp$ : $\displaystyle \lim e^{u(x)} = e^{\lim u(x)}$ quand la limite de $u$ existe (avec les précautions d’usuel sur les formes indéterminées si tu es en situation de composition plus délicate).
Résolution d’équations et d’inéquations
Pour $e^{u(x)} = e^{v(x)}$, sur des domaines où $\exp$ est injective, tu peux passer à $u(x)=v(x)$ en justifiant le domaine.
Pour des inéquations du type $e^{u(x)} \leq e^{v(x)}$, tu utilises la croissance de $\exp$ : cela revient souvent à comparer $u(x)$ et $v(x)$ sur un intervalle où tout est bien défini.
Stratégie de révision
Enchaîne : dérivation de compositions, limites avec croissances comparées, études complètes avec tableau et tangentes. Plus tu répètes les mêmes schémas, plus vite tu reconnais le « type » d’une question au bac.
Pièges fréquents
- Mélanger $e^{ab}$ et $(e^a)^b$ : en général, regarde les règles d’exposants et le domaine.
- Oublier que $e^x>0$ : utile pour simplifier des équations ou pour factoriser.
- Dériver $e^{x^2}$ sans chaîne : tu dois avoir $2x e^{x^2}$.
Quand tu relis une copie, commence par les compositions exponentielles : c’est là que les facteurs $u'$ sautent le plus souvent.
Enfin, n’oublie pas que $e^x$ croît très vite : dans des inégalités ou des encadrements, une petite variation de l’exposant peut changer radicalement la taille du terme — c’est exactement ce que tu exploites dans les croissances comparées.
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